Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，2a_n+1-a_n+1a_n-1=0（n∈N^*）
（1）求证：数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）若T_n=a₁a₂a₃…a_n，设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²，证明：S_n＞a_n+1-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）b_n=1-a_n，则a_n=1-b_n，代入到2a_n+1-a_n+1a_n-1=0得到$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=1，即可证明{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以2为首项，以1为公差的等差数列，问题得以证明，
（2）由（1）求出a_n=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘法求出T_n，再用放缩法和裂项求和得到S_n＞a_n+1-$\frac{1}{2}$．

解答 证明：（1）设b_n=1-a_n，则a_n=1-b_n，
∵2a_n+1-a_n+1a_n-1=0，
∴2（1-b_n+1）-（1-b_n+1）（1-b_n）-1=0，
整理得b_n-b_n+1=b_n+1b_n，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=1，
∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴b₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差数列，
（2）由（1）得$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+n-1=n+1，
∴a_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴T_n=a₁a₂a₃…a_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$
∴S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=a_n+1-$\frac{1}{2}$，
∴S_n＞a_n+1-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列和递推公式，以及累乘法，放缩法和裂项求和，属于中档题．