Question

9．将（x+y+z）⁶完全展开，展开式的项数共有28．

Answer 1

分析 由（x+y+z）⁶=[（x+y）+z]⁶=${C}_{6}^{0}$（x+y）⁶+${C}_{6}^{1}$（x+y）⁵z+…+${C}_{6}^{6}$z⁶，根据二项式定理（x+y）ⁿ展示式中共有n+1项，即可求出上式中展开后共有多少项．

解答 解：因为（x+y+z）⁶=[（x+y）+z]⁶
=${C}_{6}^{0}$（x+y）⁶+${C}_{6}^{1}$（x+y）⁵z+…+${C}_{6}^{6}$z⁶，
根据二项式定理：（x+y）ⁿ展示式中共有n+1项，所以上式中：第一项${C}_{6}^{0}$（x+y）⁶展开后共有7项，第二项${C}_{6}^{1}$（x+y）⁵z展开后共有6项，…第七项${C}_{6}^{6}$z⁶展开后只有1项；这样，共有7+6+5+4+3+2+1=28项．
故答案为：28．

点评 本题考查了二项展开式的所有项的应用问题，也考查转化法与转化思想的应用问题，是基础题目．