Question

19．在△ABC中，已知sinB=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{12}{13}$，则cosC=-$\frac{16}{65}$或$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 由题意可得 cosA和sinA 的值，再根据sinB的值求得cosB的值，从而求得cosC=-cos（A+B）的值．

解答 解：△ABC中，∵cosA=$\frac{12}{13}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴0＜A＜$\frac{π}{6}$，∴sinA=$\frac{5}{13}$．
∵sinB=$\frac{4}{5}$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴B∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），或B∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$）∴cosB=±$\frac{3}{5}$，
当cosB=$\frac{3}{5}$ 时，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{12}{13}•\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}•\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．
当cosB=-$\frac{3}{5}$ 时，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=$\frac{12}{13}•\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}•\frac{4}{5}$=$\frac{56}{65}$．
故答案为：-$\frac{16}{65}$或$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式、诱导公式的应用．属于中档题．