Question

8．函数f（x）为定义在R上周期为2的奇函数，且x∈（-1，1）时，f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）求a的值；
（2）求f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$6）的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性的性质可得f（0）=0，由此求得a的值．
（2）利用奇函数的性质、对数的运算性质，化简所给的式子，可得结果．

解答 解：（1）∵函数f（x）为定义在R上周期为2的奇函数，且x∈（-1，1）时，f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+1}$（a∈R），
∴f（0）=$\frac{1-a}{2}$=0，求得a=1，∴f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+1}$=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$．
（2）f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$6）=f（2+log${\;}_{\frac{1}{3}}$6）=f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{2}{3}$）=f（${log}_{3}\frac{3}{2}$）=$\frac{{3}^{{log}_{3}\frac{3}{2}}-1}{{3}^{{log}_{3}\frac{3}{2}}+1}$=$\frac{\frac{3}{2}-1}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查函数的周期性和奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．