Question

18．若α∈（$\frac{3}{2}$π，2π）sin（$\frac{π}{2}$-β）•cos（α+β）-sin（π+β）•sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，求tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$），tan2α．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式，两角差的余弦函数公式可得cosα=$\frac{3}{5}$，根据角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan$\frac{α}{2}$的值，根据两角差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式即可计算得解．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{2}$-β）•cos（α+β）-sin（π+β）•sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，
∴可得：cosβ•cos（α+β）+sinβ•sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，
∴cos[（α+β）-β]=cosα=$\frac{3}{5}$，
∵α∈（$\frac{3}{2}$π，2π），$\frac{α}{2}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），
∴可得：sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$，tan$\frac{α}{2}$＜0，
∴tanα=-$\frac{4}{3}$=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$，整理可得：2tan²$\frac{α}{2}$-3tan$\frac{α}{2}$-2=0，解得：tan$\frac{α}{2}$=-$\frac{1}{2}$或2（舍去），
∴tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=$\frac{1-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{α}{2}}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）}{1+（-\frac{1}{2}）}$=3，
tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×（-\frac{4}{3}）}{1-（-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．