Question

9．求和：S_n=$\frac{{2}^{2}+1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{3}^{2}+1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{（n+1）^{2}+1}{（n+1）^{2}-1}$．

Answer 1

分析 求得$\frac{（n+1）^{2}+1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{{n}^{2}+2n+2}{{n}^{2}+2n}$=1+$\frac{2}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：由$\frac{（n+1）^{2}+1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{{n}^{2}+2n+2}{{n}^{2}+2n}$
=1+$\frac{2}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，
可得S_n=$\frac{{2}^{2}+1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{{3}^{2}+1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{（n+1）^{2}+1}{（n+1）^{2}-1}$
=（1+1-$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）
+…+（1+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=n+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=n+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．