【题目】已知实数,函数
.
(1)当时,求
的最小值;
(2)当时,判断
的单调性,并说明理由;
(3)求实数的范围,使得对于区间
上的任意三个实数
,都存在以
为边长的三角形.
【答案】(1)2;(2)递增;(3).
【解析】
试题(1)研究函数问题,一般先研究函数的性质,如奇偶性,单调性,周期性等等,如本题中函数是偶函数,因此其最小值我们只要在
时求得即可;(2)
时,
可化简为
,下面我们只要按照单调性的定义就可证明在
上函数是单调递增的,当然在
上是递减的;(3)处理此问题,首先通过换元法把问题简化,设
,则函数
变为
,问题变为求实数
的范围,使得在区间
上,恒有
.对于函数
,我们知道,它在
上递减,在
上递增,故我们要讨论它在区间
上的最大(小)值,就必须分类讨论,分类标准显然是
,
,
,在
时还要讨论最大值在区间
的哪个端点取得,也即共分成四类.
试题解析:易知的定义域为
,且
为偶函数.
(1)时,
时
最小值为2.
(2)时,
时,
递增;
时,
递减;
为偶函数.所以只对
时,说明
递增.
设,所以
,得
所以时,
递增;
(3),
,
从而原问题等价于求实数的范围,使得在区间
上,
恒有.
①当时,
在
上单调递增,
由
得
,
从而;
②当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
由得
,从而
;
③当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
由得
,从而
;
④当时,
在
上单调递减,
由得
,从而
;
综上,.
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【题目】已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[t,t+2],t∈R时,求函数f(x)的最小值(用t表示).
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【题目】经过市场调查,超市中的某种小商品在过去的近40天的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)为时间(单位:天)的函数,且日销售量近似满足
,价格近似满足
。
(1)写出该商品的日销售额(单位:元)与时间
(
)的函数解析式并用分段函数形式表示该解析式(日销售额=销售量
商品价格);
(2)求该种商品的日销售额的最大值和最小值.
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【题目】某企业为打入国际市场,决定从、
两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
年固定成本 | 每件产品成本 | 每件产品销售价 | 每年最多可生产的件数 | |
A产品 | 20 | 10 | 200 | |
B产品 | 40 | 8 | 18 | 120 |
其中年固定成本与年生产的件数无关,是待定常数,其值由生产
产品的原材料决定,预计
,另外,年销售
件B产品时需上交
万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)求该厂分别投资生产A、两种产品的年利润
与生产相应产品的件数
之间的函数关系,并求出其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案.
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【题目】已知椭圆M:: (a>0)的一个焦点为F(﹣1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(1)求椭圆方程;
(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;
(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 , 求|S1﹣S2|的最大值.
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【题目】某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位:
)频数分布表如表
、表
.
表:男生身高频数分布表
身高/ | ||||||
频数 |
表:女生身高频数分布表
身高/ | ||||||
频数 |
(1)求该校高一女生的人数;
(2)估计该校学生身高在的概率;
(3)以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出人,设
表示身高在
学生的人数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】执行如图所示的程序框图,若输出的结果为2,则输入的正整数a的可能取值的集合是( )
A.{1,2,3,4,5}
B.{1,2,3,4,5,6}
C.{2,3,4,5}
D.{2,3,4,5,6}
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【题目】在平面直角坐标系中,已知倾斜角为
的直线
经过点
.以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(1)写出曲线的普通方程;
(2)若直线与曲线
有两个不同的交点
,求
的取值范围.
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