Question

12．已知实数x，y满足x²+y²=1，则（1-xy）（1+xy）的取值范围是[$\frac{3}{4}$，1]．

Answer 1

分析 三角代换可得x=sinθ，y=cosθ，可得（1-xy）（1+xy）=1-$\frac{1}{4}$sin²2θ，由三角函数的知识可得．

解答 解：∵x²+y²=1，∴x=sinθ，y=cosθ，
∴（1-xy）（1+xy）=1-x²y²
=1-（sinθcosθ）²
=1-（$\frac{1}{2}$sin2θ）²
=1-$\frac{1}{4}$sin²2θ，
当sin2θ=0时，1-sin²2θ有最大值1；
当sin2θ=±1时，1-sin²2θ有最小值$\frac{3}{4}$．
∴（1-xy）（1+xy）的取值范围为：[$\frac{3}{4}$，1]
故答案为：[$\frac{3}{4}$，1]．

点评 本题考查不等式求式子的取值范围，三角代换是解决问题的关键，属基础题．