Question

16．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（a∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）最大值为4，求a的值．
（3）在（2）的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数单调性的性质进行求解即可，
（2）求出角的范围，结合函数的最值进行求解即可，
（3）根据三角函数的值建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2+a+1=4，即a=1．
（3）当a=1时，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2=1得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$或2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，
得x=kπ+$\frac{π}{2}$或x=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵x∈[-π，π]，∴得x=$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数单调性，最值的性质是解决本题的关键．