Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{π}）^{-x}-2，x＞0}\\{\sqrt{2{x}^{2}}，x≤0}\end{array}\right.$若f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-1，0]
• B． [-2，0]
• C． （-∞，-1]
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{π}$）^-x-2=π^x-2，此时函数为增函数，当x≤0时，f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}}$=-$\sqrt{2}$x，此时函数减函数，分别求出最小值，即可得到a的范围．

解答 解：当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{π}$）^-x-2=π^x-2，此时函数为增函数，f（x）＞f（0）=-1，
当x≤0时，f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}}$=-$\sqrt{2}$x，此时函数减函数，f（x）≥f（0）=0，
∵f（x）＞a恒成立，
∴-1≥a，
即a≤-1，
故选：C．

点评 本题是恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围．