Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3（2ⁿ-1），数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2．数列{a_n}和{b_n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c_n}．若数列{c_n}的第n项恰为数列{a_n}第k_n项，则数列{k_n}的前32项的和是2016．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=3（2ⁿ-1），当n=1时，a₁=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得：a_n=3×2^n-1．数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2．数列{a_n}和{b_n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c_n}：3，48，768，…，分别为数列{a_n}第1，5，9，…，k_n项．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}的前n项和S_n=3（2ⁿ-1），
∴当n=1时，a₁=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3（2ⁿ-1）-3（2^n-1-1）=3×2^n-1，
当n=1时上式也成立，∴a_n=3×2^n-1．
数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2．
数列{a_n}和{b_n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c_n}：3，48，768，…，
分别为数列{a_n}第1，5，9，…，k_n项．
可得k_n=1+4（n-1）=4n-3．
∴则数列{k_n}的前32项的和是 $\frac{32（1+125）}{2}$=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．