Question

14．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程；
（2）求出曲线C的圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出|AB|．

解答 解：（I）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），∴$\sqrt{3}$x-y=$\sqrt{3}-2$，
即直线l的普通方程为$\sqrt{3}x$-y+2-$\sqrt{3}$=0．
由ρ=2$\sqrt{3}$sinθ得ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，即x²+y²=2$\sqrt{3}$y．
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2$\sqrt{3}$y．即x²+（y-$\sqrt{3}$）²=3．
（II）由（1）知曲线C的圆心为（0，$\sqrt{3}$），半径r=$\sqrt{3}$．
∴曲线C的圆心到直线l的距离d=$\frac{2\sqrt{3}-2}{2}$=$\sqrt{3}-1$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3-（\sqrt{3}-1）^{2}}$=2$\sqrt{2\sqrt{3}-1}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．