Question

6．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4$\sqrt{3}$k，设OA=x，OB=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求N-M的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出N-M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N-M的最大值及相应的x的值．

解答 解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，
由余弦定理得x²+y²-2xycos120°=（y+1）²，解得y=$\frac{{x}^{2}-1}{2-x}$，
由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，
∵x＞y，
∴x＞$\frac{{x}^{2}-1}{2-x}$，
得1＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴OA的取值范围是（1，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．
（2）M=kOB=ky，N=4$\sqrt{3}$k•S_△AOC=3kx，
则N-M=k（3x-y）=k（3x-$\frac{{x}^{2}-1}{2-x}$），
设2-x=t，则t∈（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，1），
则N-M=k[3（2-t）-$\frac{（2-t）^{2}-1}{t}$]=k[10-（4t+$\frac{3}{t}$）]≤k（10-2$\sqrt{4t•\frac{3}{t}}$）=（10-4$\sqrt{3}$）k，
当且仅当4t=$\frac{3}{t}$，即t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，N-M的最大值是）=（10-4$\sqrt{3}$）k．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数最值的应用，利用余弦定理结合换元法，以及基本不等式的应用是解决本题的关键．