Question

16．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率与双曲线3x²-y²=3的离心率互为倒数，且过点$（1，\frac{3}{2}）$．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点$P（\frac{1}{5}，0）$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）双曲线3x²-y²=3即${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率e=2．由题意可得：椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，把点$（1，\frac{3}{2}）$代入椭圆方程解出即可得出．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，可得△＞0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得：MN中点P的坐标为$（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$，设MN的垂直平分线l′方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{5}）$，由于P在l′上可得：4k²+5km+3=0，与△＞0联立解出即可得出．

解答 解：（1）双曲线3x²-y²=3即${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率e=$\sqrt{1+\frac{3}{1}}$=2．
由题意可得：椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$…（2分）
又点$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，∴$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{{3{c^2}}}=1$，∴c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，…（6分）
又${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，
∴MN中点P的坐标为$（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$，
设MN的垂直平分线l′方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{5}）$，
∴P在l′上$\frac{3m}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}-\frac{1}{5}）$，即4k²+5km+3=0，$m=-\frac{{4{k^2}+3}}{5k}$，…（10分）
将上式代入得$\frac{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}{{25{k^2}}}＜4{k^2}+3$，${k^2}＞\frac{1}{7}$，$k＞\frac{{\sqrt{7}}}{7}$或$k＜-\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，
∴k的取值范围为$（-∞，-\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪（\frac{{\sqrt{7}}}{7}，+∞）$…（12分）

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、线段的垂直平分线的性质、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．