Question

6．F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F₂关于直线PF₁的对称点为M，F₁关于直线PF₂的对称点为N，则当|MN|的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设P（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），求出点F₂到直线PF₁的距离d₁=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，F₁到直线PF₂的距离d₂=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，由|MN|=d₁+d₂，能求出|MN|的最大值．

解答 解：∵F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，
∴设P（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
∴直线PF₁：$\frac{y}{x+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}sinθ}{2cosθ+\sqrt{2}}$，即$\sqrt{2}sinθ•x$-（2cos$θ+\sqrt{2}$）•y+2sinθ=0，
点F₂到直线PF₁的距离d₁=$\frac{|2sinθ+2sinθ|}{\sqrt{2si{n}^{2}θ+（4co{s}^{2}θ+4\sqrt{2}cosθ+2）}}$=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，
同理，F₁到直线PF₂的距离d₂=$\frac{|2sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，
∵F₂关于直线PF₁的对称点为M，F₁关于直线PF₂的对称点为N，
∴|MN|=d₁+d₂=$\frac{4|sinθ|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+\sqrt{2}cosθ+1}}$，
∴当cosθ=0，|sinθ|=1时，|MN|取最大值4．
故选：C．

点评 本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题要认真审题，注意等价转化思想、点到直线距离公式的合理运用．