Question

11．如图，已知A₁A⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC=3，BC=2$\sqrt{5}$，AA₁=$\sqrt{7}$，BB₁=2$\sqrt{7}$，点E和F分别为BC和A₁C的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁B₁BA；
（2）求证：平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（3）求几何体ABCA₁B₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B，根据中位线定理可得EF∥A₁B，故而有EF∥平面A₁B₁BA；
（2）由A₁A⊥平面ABC，BB₁∥AA₁可得B₁B⊥平面ABC，故B₁B⊥AE，由等腰三角形三线合一可得BC⊥AE，于是AE⊥平面B₁BC，从而得出平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（3）将几何体分解成两个小三棱锥A₁-B₁BC和A₁-ABC求体积．

解答 证明：（1）连结A₁B，在△A₁BC中，
∵点E和F分别为BC和A₁C的中点，
∴EF∥A₁B，∵EF?平面平面A₁B₁BA，A₁B?平面A₁B₁BA，
∴EF∥平面A₁B₁BA．
（2）∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC．
∵A₁A⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，
∴B₁B⊥平面ABC，∵AE?平面ABC，
∴B₁B⊥AE．又∵B₁B?平面B₁BC，BC?平面B₁BC，B₁B∩BC=B，
∴AE⊥平面B₁BC，∵AE?平面AEA₁，
∴平面AEA₁⊥平面BCB₁．
（3）∵AC=3，CE=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$，∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=2．
∴三棱锥A₁-B₁BC的体积V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×{B}_{1}B×AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{7}×2$=$\frac{4\sqrt{35}}{3}$．
三棱锥A₁-ABC的体积V₂=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×AE×\sqrt{7}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2×\sqrt{7}$=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$．
∴几何体ABCA₁B₁的体积V=V₁+V₂=$\frac{4\sqrt{35}}{3}$+$\frac{2\sqrt{35}}{3}$=2$\sqrt{35}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．