Question

1．已知x，y都是锐角，且tanx=3tany，证明：x-y≤$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 先用两角差的正切公式，求一下tan（x-y）的值，然后再由已知代换，利用均值不等式求得tan（x-y）的最大值，从而得到结果．

解答 证明：因为x，y都是锐角，x-y∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanx=3tany，
所以tan（x-y）=$\frac{tanx-tany}{1+tanxtany}$=$\frac{2tany}{1+3ta{n}^{2}y}$
=$\frac{2}{\frac{1}{tany}+3tany}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{tany}•3tany}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=tan$\frac{π}{6}$，当且仅当3tan²y=1时取等号，
∴x-y≤$\frac{π}{6}$．

点评 本题是中档题，考查两角和与差的正切函数的应用，基本不等式的应用，注意角的范围，考查计算能力．