Question

12．P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的一点，A、B分别是圆（x+3）²+y²=1和（x-3）²+y²=1上的点，则|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的取值范围是[8，12]．

Answer 1

分析 由题设知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点分别是两圆（x+3）²+y²=1和（x-3）²+y²=1的圆心，由此能求出|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的最小值、最大值．

解答 解：依题意，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点分别是
两圆（x+3）²+y²=1和（x-3）²+y²=1的圆心，
所以（|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|）_max=2×5+2=12，
（|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|）_min=2×5-2=8，
则|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的取值范围是[8，12]．
故答案为：[8，12]．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用