Question

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a$•\overrightarrow{PA}$+b$•\overrightarrow{PB}$+c$•\overrightarrow{PC}$=0，则P点为三角形（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 在AB，AC上分别取单位向量$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AE}$，作$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$，则AF平分∠BAC，用$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$代入条件式，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AP}$，则可证明A，F，P三点共线，即AP平分∠BAC．

解答 解在AB，AC上分别取点D，E，使得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{b}$，则$|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AE}|$=1．
以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则四边形ADFE是菱形，且$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}$．
∴AF为∠BAC的平分线．
∵a$•\overrightarrow{PA}$+b$•\overrightarrow{PB}$+c$•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$
∴a$•\overrightarrow{PA}$+b•（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$）+c•（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$，
即（a+b+c）$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$=$\frac{bc}{a+b+c}$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}$）=$\frac{bc}{a+b+c}$$\overrightarrow{AF}$．
∴A，P，F三点共线，即P在∠BAC的平分线上．
同理可得P在其他两角的平分线上，
∴P是△ABC的内心．
故选：B．

点评 本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题．