Question

13．求函数f（x）=$\sqrt{m{x}^{2}+（m-3）x-3}$的定义域．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式得出mx²+（m-3）x-3≥0，该不等式化为（mx-3）（x+1）≥0；
讨论m的取值范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{m{x}^{2}+（m-3）x-3}$，
∴mx²+（m-3）x-3≥0，
即（mx-3）（x+1）≥0；
①当m=0时，不等式化为-3（x+1）≥0，解得x≤-1；
②当m≠0时，不等式对应方程的两个实数根为$\frac{3}{m}$和-1，
若m＞0，则$\frac{3}{m}$＞-1，解不等式得x≤-1或x≥$\frac{3}{m}$；
若-3＜m＜0，则$\frac{3}{m}$＜-1，解不等式得$\frac{3}{m}$≤x≤-1；
若m=-3，则$\frac{3}{m}$=-1，解不等式得x=-1；
若m＜-3，则$\frac{3}{m}$＞-1，解不等式得-1≤x≤$\frac{3}{m}$；
综上，m＞0时，函数f（x）的定义域为{x|x≤-1或x≥$\frac{3}{m}$}，
m=0时，函数f（x）的定义域为{x|x≤-1}，
-3＜m＜0时，函数f（x）的定义域为{x|$\frac{3}{m}$≤x≤-1}，
m=-3时，函数f（x）的定义域为{x|x=-1}，
m＜-3时，函数f（x）的定义域为{x|-1≤x≤$\frac{3}{m}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的报道说的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行适当的分类讨论，是综合题