Question

2．已知正数x、y满足x+y=xy，则4x，y，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$这4个数的平均数的（　　）

• A． 最小值为2
• B． 最小值为$\frac{5}{2}$
• C． 最大值为2
• D． 最大值为$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 化简可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，从而利用化简4x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+6，从而利用基本不等式求解即可．

解答 解：∵正数x、y满足x+y=xy，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴4x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$
=（4x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）+1
=$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+6≥10，
（当且仅当$\frac{4x}{y}$=$\frac{y}{x}$，即x=$\frac{3}{2}$，y=3时成立）
故4x，y，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$这4个数的平均数不小于$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，
即4x，y，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$这4个数的平均数的最小值为$\frac{5}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了不等式的化简与应用，同时考查了基本不等式的应用．