Question

7．已知在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=$\sqrt{3}$，圆A是以A为圆心，1为半径的圆，圆B是以B为圆心的圆，设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且4$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BQ}$，则$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，11]
• B． [1，13]
• C． [5-2$\sqrt{21}$，5+2$\sqrt{21}$]
• D． [7-2$\sqrt{21}$，7+2$\sqrt{21}$]

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），根据4$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BQ}$求出Q坐标，利用坐标计算$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$得到关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最值．

解答 解：以A为原点AC，AB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（0，3），C（$\sqrt{3}$，0）．设P（cosθ，sinθ），Q（x，y），
∵4$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BQ}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y-3=4sinθ}\end{array}\right.$，∴Q（4cosθ，4sinθ+3）．
∴$\overrightarrow{CP}$=（cos$θ-\sqrt{3}$，sinθ），$\overrightarrow{CQ}$=（4cosθ-$\sqrt{3}$，4sinθ+3）．
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$=（cosθ$-\sqrt{3}$）（4cosθ-$\sqrt{3}$）+sinθ（4sinθ+3）
=7-5$\sqrt{3}$cosθ+3sinθ=7+2$\sqrt{21}$sin（θ-φ）．
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}$的最小值为7-2$\sqrt{21}$，最大值为7+2$\sqrt{21}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是解决向量问题的常用方法，属于中档题．