Question

15．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$（λ∈R）
（1）求|$\overrightarrow{c}$|最小时的λ
（2）求$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角余弦值的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量模的计算公式、二次函数的单调性即可得出；
（2）$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1-3λ+2（2+4λ）}{\sqrt{5}×\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}}$=$\frac{λ+1}{\sqrt{5{λ}^{2}+2λ+1}}$，令f（λ）=$\frac{（λ+1）^{2}}{5{λ}^{2}+2λ+1}$，化简利用函数的性质即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（1-3λ，2+4λ），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（1-3λ）^{2}+（2+4λ）^{2}}$=$\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}$=$\sqrt{25（λ+\frac{1}{5}）^{2}+4}$≥2，当$λ=-\frac{1}{5}$时取等号，
∴|$\overrightarrow{c}$|最小时的λ=-$\frac{1}{5}$．
（2）$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1-3λ+2（2+4λ）}{\sqrt{5}×\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}}$=$\frac{λ+1}{\sqrt{5{λ}^{2}+2λ+1}}$，
令f（λ）=$\frac{（λ+1）^{2}}{5{λ}^{2}+2λ+1}$，f（-1）=0，$f（-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{5}$，f（0）=1．
λ≠-1，-$\frac{1}{2}$，0时，f（λ）=$\frac{1}{5}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{\frac{5{λ}^{2}+2λ+1}{2λ+1}}$，
令g（λ）=$\frac{5{λ}^{2}}{2λ+1}$=$\frac{5}{（\frac{1}{λ}+1）^{2}-1}$∈（-∞，-5）∪（0，+∞）．
∴f（λ）∈[0，1]，
∴$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}＞$∈[-1，1]．

点评 本题考查了向量夹角公式、向量模的计算公式、二次函数的单调性、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．