Question

1．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5-3cos2θ}}$．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，C₁与x轴交于点P，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）将参数方程两式相加消去参数得出普通方程，对极坐标方程两边平方，还有二倍角公式化简得出普通方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线普通方程，利用参数得几何意义得出．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴x+y=1，即曲线C₁的方程为x+y=1．
∵ρ=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5-3cos2θ}}$，∴ρ²=$\frac{8}{5-3（1-2si{n}^{2}θ）}$=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=4，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+4y²=4．即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入x²+4y²=4得5t²-2$\sqrt{2}t$-6=0，
∴t₁t₂=-$\frac{6}{5}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程，与普通方程的转化，参数方程的几何意义，属于基础题．