Question

14．已知函数$f（x）=sinx•cos（x-\frac{π}{6}）+{cos^2}x-\frac{1}{2}$
（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；
（2）若$f（{x_0}）=\frac{11}{20}，{x_0}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，求cos2x₀的值；
（3）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若$f（A）=\frac{1}{2}，b+c=3$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式、三角函数的单调性与最值即可得出；
（2）$f（{x_0}）=\frac{11}{20}，{x_0}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，代入化简可得$sin（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$=$\frac{3}{5}$，$（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{7π}{6}]$，可得$cos（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$=$-\frac{4}{5}$．再利用cos2x₀=$cos[（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]$展开即可得出．
（3）由题意f（A）=$\frac{1}{2}$$sin（2A+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，化简得$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，由于A∈（0，π），可得$2A+\frac{π}{6}$∈$（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，即可解得A．在△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bc$cos\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）函数$f（x）=sinx•cos（x-\frac{π}{6}）+{cos^2}x-\frac{1}{2}$
=$sinx（\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx）$+$co{s}^{2}x-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$cos²x
=$\frac{1}{2}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{4}$．
∴函数f（x）的最大值为$\frac{3}{4}$．
当f（x）取最大值时$sin（2x+\frac{π}{6}）$=1，∴$2x+\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得x=$kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）．
故x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．
（2）$f（{x_0}）=\frac{11}{20}，{x_0}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，
∴$\frac{1}{2}sin（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{20}$，
$sin（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$=$\frac{3}{5}$，$（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{7π}{6}]$，∴$cos（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$=$-\frac{4}{5}$．
cos2x₀=$cos[（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]$=$cos（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$$cos\frac{π}{6}$+$sin（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$$•sin\frac{π}{6}$=$-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．
（3）由题意f（A）=$\frac{1}{2}$$sin（2A+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，化简得$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），∴$2A+\frac{π}{6}$∈$（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，∴$2A+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bc$cos\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc．
由b+c=3，知bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$，即a²$≥\frac{9}{4}$．∴当b=c=$\frac{3}{2}$时，a取最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．