Question

16．f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
①求f（x）的单调区间；
②若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 ①根据余弦函数的单调性列出不等式解出f（x）的单调区间．
②根据x的范围求出2x+$\frac{π}{6}$的范围，根据余弦函数的图象和单调性得出f（x）的最值．

解答 解：①令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，解得-$\frac{7π}{12}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{12}$+kπ，
令2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤π+2kπ，解得-$\frac{π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{12}+kπ$．
∴f（x）的增区间是[-$\frac{7π}{12}$+kπ，-$\frac{π}{12}$+kπ]，减区间是[-$\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{5π}{12}+kπ$]，k∈Z．
②∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=π时，f（x）取得最小值$\frac{1}{2}×（-1）$$+\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$．
∴f（x）的值域是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$]．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质，属于基础题．