Question

19．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ x+y≤1\\ y≥-1.\end{array}\right.$
（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 （1）由题意作出可行域，从而利用线性规划求最大值；
（2）由题意作图象，从而可得当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；从而结合图象解得．

解答 解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，-1）时有最大值，
故Z_max=2×2-1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y-z=0的距离d=$\frac{|z|}{\sqrt{5}}$，
故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；
结合图象可知，当直线2x+y-z=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1相切时最大，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=-2x+z}\end{array}\right.$化简可得，
116x²-100zx+25z²-400=0，
故△=10000z²-4×116×（25z²-400）=0，
故z²=116，
故z=2x+y的最大值为$\sqrt{116}$．

点评 本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．