Question

7．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[-3，-2]时，f（x）=4x，则f（113.5）=$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 利用函数的周期性、奇偶性即可得出．

解答 解：∵对任意x∈R，有f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+6）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=f（x），
∴函数f（x）是周期为6的函数，
∴f（113.5）=f（6×18+5.5）=f（5.5）=-$\frac{1}{f（2.5）}$，
∵当x∈[-3，-2]时，f（x）=4x，函数f（x）又是R上的偶函数，
∴f（-2.5）=4×（-2.5）=-10=f（2.5）．
∴f（113.5）=$\frac{1}{10}$．
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查了函数的周期性、奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．