Question

11．已知顶点为原点O，焦点在x轴上的抛物线，其内接△ABC的重心是焦点F，若直线BC的方程为4x+y-20=0．
（1）求抛物线方程；
（2）过抛物线上一动点M作抛物线切线l，又MN⊥l且交抛物线于另一点N，ME（E在M的右侧）平行于x轴，若∠FMN=λ∠NME，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）先设抛物线方程为y²=4px，然后表示出焦点坐标，抛物线和直线方程联立可消去y得到4x²-（p+40）x+100=0，进而可得到B，C的横坐标之和与纵坐标之和，再由A点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程，最后将A，B，C的坐标代入△ABC重心坐标公式可求得p的值，从而确定抛物线方程；
（2）设M（$\frac{{m}^{2}}{16}$，m），由y²=16x，两边对x求导，求得切线的斜率，再由两直线的到角公式可得tan∠FMN=tan∠NME，即可得到所求值．

解答 解：（1）设抛物线的方程为y²=4px，则其焦点为（p，0），
与直线方程4x+y-20=0联立，有（-4x+20）²=4px
∴4x²-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20，
该方程的解为B，C两点的坐标（x₂，y₂），（x₃，y₃），
x₂+x₃=$\frac{p+40}{4}$（1）
y₂+y₃=-4（x₂+x₃）+40=-p （2）
设A（x₁，y₁），∵A在抛物线上
∴y₁²=4px₁（3），
△ABC重心坐标为：（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$）
∵重心为抛物线焦点，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$=p，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，
将（1），（2）代入，得：
x₁+$\frac{p+40}{4}$=3p，y₁-p=0，
与（3）联立，三个方程，x₁，y₁，p三个未知数，
解得p=4，
故抛物线的方程为y²=16x；
（2）设M（$\frac{{m}^{2}}{16}$，m），由y²=16x，两边对x求导，可得
2yy′=16，即有切线的斜率为k=$\frac{8}{m}$，
由两直线垂直可得MN的斜率为-$\frac{m}{8}$，
由F（4，0），
可得直线MF的斜率为$\frac{16m}{{m}^{2}-64}$，
由直线MN到直线MF的角的公式可得，
tan∠FMN=$\frac{\frac{16m}{{m}^{2}-64}+\frac{m}{8}}{1-\frac{16m}{{m}^{2}-64}•\frac{m}{8}}$=-$\frac{m}{8}$，
由题意可得tan∠FME=$\frac{m}{8}$，
由∠NME，∠FMN均为锐角，
则∠NME=∠FMN，
可得λ=1．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的联立问题，考查直线和抛物线相切的条件，注意运用导数，同时考查两直线的到角公式，考查运算能力，属于中档题．