Question

3．命题p：方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$是焦点在y轴上的椭圆，命题q：函数$f（x）=\frac{4}{3}{x^3}-2m{x^2}+（4m-3）x-m$在（-∞，+∞）上单调递增．若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p，根据方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$是焦点在y轴上的椭圆，可得m＞2．对于命题q，由f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0对x∈R恒成立得△≤0，
由p∧q为假，p∨q为真得p与q一真一假，即可得出．

解答 解：对于命题p，∵方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$是焦点在y轴上的椭圆，由条件可得m＞2．
对于命题q，由f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0对x∈R恒成立得△=（-4m）²-16（4m-3）≤0⇒1≤m≤3．
由p∧q为假，p∨q为真得p与q一真一假，
若p真q假时，则可得$\left\{{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m＜1或m＞3}\end{array}}\right.⇒m＞3$，
若p假q真时，则可得$\left\{{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1≤m≤3}\end{array}}\right.⇒1≤m≤2$，
综上可得，m的取值范围是1≤m≤2或m＞3．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质、椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．