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已知数列{an}中a1=2,an+1=(-1)( an+2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{an}中b1=2,bn+1=,n=1,2,3,….证明:<bn≤a4n-3,n=1,2,3,…
(Ⅰ) an=[(-1)n+1]  (Ⅱ)见解析
(Ⅰ)由题设:an+1=(-1)(an+2)=(-1)(an-)+(-1)(2+),
=(-1)(an-)+,∴an+1-=(-1)(an-).
所以,数列{an-}a是首项为2-,公比为-1)的等比数列,an-=(-1)n
即an的通项公式为an=[(-1)n+1],n=1,2,3,….
(Ⅱ)用数学归纳法证明.
(ⅰ)当n=1时,因<2,b1=a1=2,所以<b1≤a1,结论成立.
(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即<bk≤a4k-3,,也即0<bn-≤a4k-3-,
当n=k+1时,bk+1-=-==>0,
又<=3-2,所以bk+1-=<(3-2)2(bk-)≤(-1)4(a4k-3-)=a4k+1-也就是说,当n=k+1时,结论成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)知<bn≤a4n-3,n=1,2,3,….
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