Question

5．如图所示，某小区内有一矩形花坛，现将这一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）设DN=x米，BM=y米，矩形AMPN的面积为z米²，试用x，y表示z；
（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由相似得到xy=6，即可用x，y表示z；
（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答 解：（1）由相似得到$\frac{x}{3}=\frac{2}{y}$，∴xy=6…（2分）
∴面积z=（x+2）（y+3）…（4分）
（2）z=（x+2）（y+3）=（x+2）（$\frac{6}{x}$+3）=3x+$\frac{12}{x}$+12≥24…（6分）
当且仅当3x=$\frac{12}{x}$，即x=2时，z有最小值24，
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米…（8分）

点评 本题考查根据题设关系列出函数关系式，考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．