Question

13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为$\frac{5\sqrt{7}}{28}$．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推出AB=2，求解AB²=AD²+BD²，证明BD⊥AD，然后证明AD⊥平面BFED．
（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，
∴故 AB=2，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3，
∴AB²=AD²+BD²
∴BD⊥AD，
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，
∴AD⊥平面BFED．…（5分）
（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，
以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，λ，$2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ$），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=$（0，λ-\sqrt{3}，2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ）$．
取平面EAD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{m}$=0得：$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{（λ-\sqrt{3}）y+（2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ）z=0}\end{array}\right.$，取y=1，可得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{\sqrt{3}-λ}{2-\frac{\sqrt{3}}{2}λ}$）．
∵二面角A-PD-C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为$\frac{5\sqrt{7}}{28}$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3+1+（\frac{\sqrt{3}-λ}{2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ}）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{28}$，
解得λ=$\frac{1}{3}$，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．