Question

过双曲线

x2

9

-

y2

b2

=1（b＞0）的左焦点F₁的直线l交双曲线的左支于A，B两点，若|AF₂|+|BF₂|（F₂为双曲线的右焦点）的最小值为14，则b=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的标准方程可得：a=3，再由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6，|BF₂|-|BF₁|=2a=6，得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．

解答： 解：如图，
根据双曲线的标准方程

x2

9

-

y2

b2

=1（b＞0），得：a=3，
由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=6…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，
∵过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，当|AB|是双曲线的通经时|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=12．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+12≥

2b2

3

+12=14．
解得：b=

3

故答案为：

3

．

点评：本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中档题．