Question

如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．

（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）k＝±1（2）

（1）椭圆C： 1分
直线AB：y＝k（x－m）,                                                                                                   2分
，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．    3分
设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝    4分
则x_m＝                               5分
若存在k,使为ON的中点，∴．
∴，
即N点坐标为．                             6分
由N点在椭圆上，则                7分
即5k⁴－2k²－3＝0．∴k²＝1或k²＝－（舍）．
故存在k＝±1使                                                                                  8分
（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）
＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²
＝（1＋k²）·            10分
由得                 12分
即k²－15≤－20k²－12,k2≤且k≠0．                                    14分