Question

13．（1）已知sin（2α+β）=3sinβ，求证：tan（α+β）=2tanα
（2）证明：$\frac{sin2α+β}{sinα}$-2cos（α+β）=$\frac{sinβ}{sinα}$．

Answer 1

分析 （1）把已知等式左边的角β变为（α+β）-α，右边的角2α+β变为（α+β）+α，然后左右两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并后，在等式两边同时除以cosαcos（α+β），利用同角三角函数间的基本关系变形可得证．
（2）将第一项分子2α+β转化为α+（α+β），利用两角和差公式展开，通分后，即可证明左边等于右边，从而得证．

解答 （1）证明：将条件化为：3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
展开得：3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即：2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，
由cos（α+β）cosα≠0，两边同除以cos（α+β）cosα，
可得：tan（α+β）=2tanα．
（2）证明：左边=$\frac{sin2α+β}{sinα}$-2cos（α+β）=$\frac{sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）-2sinαcos（α+β）}{sinα}$=$\frac{sin[（α+β）-α]}{sinα}$=$\frac{sinβ}{sinα}$=右边．
从而得证．

点评 此题考查了三角函数的恒等式的证明，用到的知识有：两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，把已知等式左右两边的角度灵活变换是本题的突破点．