Question

【题目】已知直线l：y=3x+3．
（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；
（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；
（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：设点P的对称点为P'（a，b），

则 ，解得： ，

即点P'的坐标为（﹣4，6）；

（2）解：解方程组 得 ，

即两直线l与l的交点坐标为

因为直线l与l2关于直线l对称，所以直线l2必过点 ，

又由（1）可知，点P（5，3）恰好在直线l上，且其关于直线l的对称点为P'（﹣4，6），

所以直线l2必过点P'（﹣4，6），这样由两点式可得： ，

即7x+y+22=0；

（3）解：由（1）得P'（﹣4，6），连接P'M，交直线l于N，连接NP，

则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，

设出N（x，3x+3），则由P'，M，N共线，可得，

，解得，x=1，

则可得N（1，6）．

【解析】（1）设点P的对称点为P'（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程，解出即可；（2）首先求出两直线的交点，再由点关于直线对称的求法求出对称点，再由直线方程的形式，即可得到；（3）可由（1）的结论，连接P'M，交直线l于N，连接NP，再由三点共线的知识，即可求出N．