【题目】已知函数f(x)=ex+2(x2-3).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数y=f(x)的极值.
【答案】(1)切线方程为3e2x+y+3e2=0;(2)极大值为f(-3)=,极小值为f(1)=-2e3.
【解析】
(1)由函数,求得,得到的值,得到直线的斜率,进而求解切线的方程;
(2)令,求得和,列出表格,即可得到函数的极值.
解:(1)函数f(x)=ex+2(x2-3),
则f′(x)=ex+2(x2+2x-3)=ex+2(x+3)(x-1),
故f′(0)=-3e2,又f(0)=-3e2,
故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+3e2=-3e2(x-0),即3e2x+y+3e2=0.
(2)令f′(x)=0,可得x=1或x=-3,
如下表:
x | (-∞,-3) | -3 | (-3,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以当x=-3时,函数取极大值,极大值为f(-3)=,当x=1时,函数取极小值,极小值为f(1)=-2e3.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P( ,m)到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的方程;
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线,垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆的圆心坐标为,半径为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为:(为参数).
(1)求圆和直线l的极坐标方程;
(2)点的极坐标为,直线l与圆相交于A,B,求的值.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于直线x= 对称
B.关于点( ,0)对称
C.关于直线x=﹣ 对称
D.关于点( ,0)对称
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【题目】在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,且c<2a.
(1)求证:△ABC为等腰三角形
(2)若△ABC的面积为8 .且sinB= ,求BC边上的中线长.
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【题目】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acosθ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为 (t为参数).
(1)求圆C的直角坐标方程(化为标准方程)和直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与圆C只有一个公共点,且a<1,求a的值.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q是AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,在线段PC上是否存在点M,使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°.若存在,试确定点M的位置,若不存在,请说明理由.
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