【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P( ,m)到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的方程;
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线,垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.
【答案】
(1)解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F( ,0),准线方程为x=﹣
,
由题意点 到准线的距离为|PO|,
由抛物线的定义,可得点P到准线的距离为|PF|,
即有|PO|=|PF|,即点 在线段OF的中垂线上,
则 =
,解得p=3,则抛物线的方程为y2=6x
(2)解:四边形AEBF为菱形.
证明:抛物线y2=6x的焦点为F( ,0),准线方程为x=﹣
,
由抛物线的对称性,设点 在x轴的上方,
由y2=6x,两边对x求导可得,2yy′=6,即y′= ,
可得点A处的切线的斜率为 ,
则点A处切线的方程为 ,
令上式中y=0,得 ,
可得点B的坐标为 ,又
,
所以 ,
所以 ,所以FA∥BE,又AE∥FB,
故四边形AEBF为平行四边形,
再由抛物线的定义,得AF=AE,
所以四边形AEBF为菱形.
【解析】(1)求得抛物线的焦点坐标和准线方程,运用抛物线的定义可得点 在线段OF的中垂线上,可得p=3,进而得到抛物线的方程;(2)四边形AEBF为菱形.由抛物线的对称性,设点
在x轴的上方,求出抛物线的切线的斜率和切线的方程,令y=0,求得B的坐标,E,F的坐标,由向量相等即可得到四边形的形状.
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【题目】已知各项均不为0的数列{an}满足a1=a,a2=b,且an2=an﹣1an+1+λ(n≥2,n∈N),其中λ∈R.
(1)若λ=0,求证:数列{an}是等比数列;
(2)求证:数列{an}是等差数列的充要条件是λ=(b﹣a)2;
(3)若数列{bn}为各项均为正数的等比数列,且对任意的n∈N* , 满足bn﹣an=1,求证:数列{(﹣1)nanbn}的前2n项和为常数.
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【题目】已知数列{an},{bn}均为各项都不相等的数列,Sn为{an}的前n项和,an+1bn=Sn+1(n∈N).
(1)若a1=1,bn= ,求a4的值;
(2)若{an}是公比为q的等比数列,求证:存在实数λ,使得{bn+λ}为等比数列;
(3)若{an}的各项都不为零,{bn}是公差为d的等差数列,求证:a2 , a3 , …,an…成等差数列的充要条件是d= .
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【题目】用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数?
(1)被4整除;
(2)比21 034大的偶数;
(3)左起第二、四位是奇数的偶数.
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【题目】已知点,
,
在抛物线
上,
的重心与此抛物线的焦点
重合(如图)
(I)写出该抛物线的方程和焦点的坐标;
(II)求线段中点
的坐标;
(III)求弦所在直线的方程
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,椭圆C 与y 轴交于A,B 两点,且|AB|=2.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x 轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.
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