Question

【题目】已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an+1bn=Sn+1（n∈N）．
（1）若a1=1，bn= ，求a4的值；
（2）若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn+λ}为等比数列；
（3）若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2 ， a3 ， …，an…成等差数列的充要条件是d= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1bn=Sn+1，a1=1，bn= ，

∴a2= = =4，

a3= = =6，

a4= = =8

（2）证明：设an=a1qn﹣1（q≠1），则Sn= ，

∵an+1bn=Sn+1，

∴bn= = ，

∵ = = 为常数，

∴﹣1+λ﹣λq=0，即λ= ，

故存在实数λ= ，使得{bn+λ}为等比数列

（3）证明：∵数列{bn}是公差为d的等差数列，

∴当n≥2时，an+1bn﹣an（bn﹣d）=an，

即（an+1﹣an）bn=（1﹣d）an，

∵数列{an}的各项都不为零，

∴an+1﹣an≠0，1﹣d≠0，

∴当n≥2时， = ，

当n≥3时， = ，

两式相减得：当n≥3时， ﹣ = = ．

先证充分性：

由d= 可知 ﹣ =1，

∴当n≥3时， +1= ，

又∵an≠0，

∴an+1﹣an=an﹣an﹣1，

即a2，a3，…，an…成等差数列；

再证必要性：

∵a2，a3，…，an…成等差数列，

∴当n≥3时，an+1﹣an=an﹣an﹣1，

∴ ﹣ = ﹣ =1= ，

∴d= ．

综上所述，a2，a3，…，an…成等差数列的充要条件是d=

【解析】（1）直接代入计算即可；（2）通过设an=a1qn﹣1（q≠1），利用等比数列的求和公式及an+1bn=Sn+1，计算可知bn= ，进而化简即得结论；（3）通过数列{bn}是公差为d的等差数列，对an+1bn﹣an（bn﹣d）=an变形可知 = （n≥2）、 = （n≥3），从而 ﹣ = （n≥3），然后分别证明充分性、必要性即可．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．