Question

16．若椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上有n个不同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，F是右焦点，{|P_nF|}组成等差数列，且公差d＞$\frac{1}{100}$，则n的最大值是（　　）

• A． 199
• B． 200
• C． 99
• D． 100

Answer 1

分析 求出椭圆的a，b，c，利用等差数列的通项公式和|P_iF|的最大值和最小值分别为a+c，a-c，结合不等式的性质即可得出n的最大值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∵|P₁F|，|P₂F|，…，|P_nF|组成等差数列，
∴|P_nF|=|P₁F|+（n-1）d．
∵|P_nF|≤a+c，|P₁F|≥a-c，
∴|P_nF|-|P₁F|≤（a+c）-（a-c）=2c=2，
又公差d＞$\frac{1}{100}$，
∴n≤$\frac{2}{d}$+1＜201，
∴n的最大值是200，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查等差数列的通项公式的运用，运用椭圆上的点与焦点的距离的最值和不等式的性质是解题的关键．