Question

5．已知等比数列{a_n}（n=1，2，3，…）满足a₃=4，a₆=32．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}满足b₂=1，b₄=a₁+a₃，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可的．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．∵a₃=4，a₆=32．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{q}^{3}=32}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）设等差数列{b_n}的首项为b₁，公差为d．
∵b₂=1，b₄=a₁+a₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+d=1}\\{{b}_{1}+3d=1+4}\end{array}\right.$，解得d=2，b₁=-1．
∴b_n=-1+2（n-1）=2n-3．
∴a_n+b_n=2^n-1+（2n-3）．
∴数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{n（-1+2n-3）}{2}$=2ⁿ-1-2n+n²．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．