Question

已知函数f（x）＝＋lnx.

（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围；

（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，其中bn＝，求证：当n≥2时，1＋lnn＞Sn.

 

Answer 1

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导函数，利用导函数值在[1，＋∞）上恒非负可求的a的取值范围；（2）选取满足条件（1）的某个a值，得到恒成立的不等式，再取相应的x，得到一系列不等式，求和即可.

试题解析： （Ⅰ）由已知得， 1分

依题意得对任意x∈[1，＋∞）恒成立

若a＜0，则符合题意要求. 1分

若a＞0，则对任意x∈[1，＋∞）恒成立， 2分

而

∴a≥1 1分

所以a的取值范围为 1分

（2）由（Ⅰ）知：当a＝1时，对恒成立. 1分

当n≥2时，令，，得， 3分

再将这n－1个不等式相加得：

则：，即原不等式成立. 3分

考点：利用导数研究函数的性质，不等式证明