Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，
∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB
又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC平面PCO，∴AB⊥PC．
（II）解：∵∠APB=90°，AB=2，AP=BP= ，∴PO=1
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴OC=
又PC=2，
∴PO2+CO2=PC2 ，
∴PO⊥OC，
又PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B，D到平面PAC的距离相等，设为h，
∵S△PAC= = ，S△ABC= ．
∴由VB﹣PAC=VP﹣ABC ， 可得 ，
∴h= ．
【解析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（Ⅱ）由VB﹣PAC=VP﹣ABC ， 求点D到平面PAC的距离．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．