Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA= asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵ asinB=bcosA．

由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，

∵0＜B＜π，sinB≠0．

∴ sinA=cosA，即tanA= ．

∵0＜A＜π，

∴A= ．

（2）解：∵由a=1，A= ，

∴由余弦定理，1=b2+c2﹣ bc≥2bc﹣ bc，得：bc≤2 ，当且仅当b=c等号成立，

∴△ABC的面积S= bcsinA≤ （2+ ）× = ，即△ABC面积的最大值为 ．

【解析】（1）根据正弦定理化简可得 sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2 ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义，掌握正弦定理:即可以解答此题．