Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+b．
（1）若f（x）＜0的解集为（﹣1，3），求a，b的值；
（2）当a=1时，若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当b=a时，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用a表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）＜0的解集是（﹣1，3），

∴x2﹣（a+1）x+b=0的两个根是﹣1，3，

∴ ，

解得：a=1，b=﹣3；

（2）解：a=1时，f（x）=x2﹣2x+b，

∵x∈R，f（x）≥0恒成立，

∴△=（﹣2）2﹣4b≤0，解得：b≥1，

故b的范围是[1，+∞）；

（3）解：b=a时，f（x）＜0即x2﹣（a+1）x+a＜0，

∴（x﹣1）（x﹣a）＜0，

a＜1时，a＜x＜1，a=1时，x∈，

a＞1时，1＜x＜a，

综上，a＜1时，不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}，

a=1时，不等式f（x）＜0的解集是，

a＞1时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜a}．

【解析】（1）将x=﹣1，3代入f（x）=0，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）将a=1代入函数的解析式，根据二次函数的性质求出b的范围即可；（3）问题转化为x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0，通过讨论a的范围求出不等式的解集即可．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．