【题目】已知在△ABC中, .
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
【答案】
(1)解:cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0,
∴﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣ sinAcosB=0,
化为sinAsinB﹣ sinAcosB=0,
∵sinA≠0,
∴sinB﹣ cosB=0,
∵cosB≠0,
∴tanB= ,
∵B∈(0,π).
解得B= .
(2)解:∵a+c=1,
∴1≥2 ,
化为ac≤ .
由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣3ac=1﹣3ac≥ ,当且仅当a=c= 时取等号.
∴b≥ .
又b<a+c=1.
∴b的取值范围是[ ,1).
【解析】(1)由cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0,可得﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣ sinAcosB=0,可化为tanB= ,即可得出.(2)由a+c=1,利用基本不等式的性质化为ac≤ .由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣3ac=1﹣3ac,利用基本不等式的性质即可得出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用两角和与差的余弦公式和两角和与差的正弦公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握两角和与差的余弦公式:;两角和与差的正弦公式:.
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【题目】如图,椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且 , .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】为得到函数y=sin(2x﹣ )的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移 个长度单位
B.向右平移 个长度单位
C.向左平移 个长度单位
D.向右平移 个长度单位
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【题目】已知a∈R,f(x)=aln(x﹣1)+x,f′(2)=2
(1)求a的值,并求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程y=g(x);
(2)设h(x)=mf′(x)+g(x)+1,若对任意的x∈[2,4],h(x)>0,求实数m的取值范围.
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【题目】某化工厂拟建一个下部为圆柱,上部为半球的容器(如图,圆柱高为h,半径为r,不计厚度,单位:米),按计划容积为72π立方米,且h≥2r,假设其建造费用仅与表面积有关(圆柱底部不计),已知圆柱部分每平方米的费用为2千元,半球部分每平方米4千元,设该容器的建造费用为y千元. (Ⅰ)求y关于r的函数关系,并求其定义域;
(Ⅱ)求建造费用最小时的r.
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【题目】已知圆P过A(﹣8,0),B(2,0),C(0,4)三点,圆Q:x2+y2﹣2ay+a2﹣4=0.
(1)求圆P的方程;
(2)如果圆P和圆Q相外切,求实数a的值.
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【题目】已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn , 若点(Sn﹣1 , an)(n≥2)在函数y=3x+4的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=log2 ,且bn=2n+1cn , 其中n∈N* , 求数列{cn}的前前n项和Tn .
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