Question

19．设圆台的高为3，在轴截面中母线AA₁与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．?

Answer 1

分析 由题意画出图形，设上、下底面半径、母线长分别为r、R、l，求解直角三角形分别求出圆台的上下底面半径，代入圆台体积公式得答案．

解答 解：作轴截面A₁ABB₁，设上、下底面半径、母线长分别为r、R、l．?
作A₁D⊥AB于D，则A₁D=3，∠A₁AB=60°．?
又∵∠BA₁A=90°，?
∴∠BA₁D=60°．?
∴AD=A₁D•cot60°．?
∴R-r=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．?
BD=A₁D•tan 60°，?
∴R+r=3×$\sqrt{3}$=$3\sqrt{3}$．?
解得：R=2$\sqrt{3}$，r=$\sqrt{3}$．?
而h=3，?
∴V_圆台=πh（R²+Rr+r²）=$\frac{1}{3}$π×3×[（2$\sqrt{3}$）²+2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$+（$\sqrt{3}$）²]=21π．?
∴圆台的体积为21π．

点评 本题考查圆台体积的求法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．