Question

7．求证：x-sinx＜tanx-x，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$．

Answer 1

分析 当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，令g（x）=tanx-x-（x-sinx），根据导数的符号可得g′（x）＞0，可得g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，进而得证x-sinx＜tanx-x．

解答 证明：当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，
令g（x）=tanx-x-（x-sinx），
则g′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1-（1-cosx）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$+cosx-2＞0，
故g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
故g（x）＞g（0）=0，
∴tanx-x-（x-sinx）＞0，
∴x-sinx＜tanx-x．

点评 本题主要考查三角函数线的定义，利用导数的符号研究函数的单调性，属于基础题．