Question

18．设函数f（x）=ln（x-2）+ln（x+2）
（Ⅰ）求函数的定义域，值域；
（Ⅱ）判断函数的单调性（要说明单调区间）

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x+2＞0}\end{array}\right.$，解出可得函数的定义域．f（x）=ln（x-2）（x+2），由x∈（2，+∞），可得（x-2）（x+2）=x²-4＞0，即可得出函数f（x）的值域．
（II）函数f（x）在x∈（2，+∞）单调递增．利用对数函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x+2＞0}\end{array}\right.$，解得x＞2，可得函数的定义域为（2，+∞）．
f（x）=ln（x-2）+ln（x+2）=ln（x-2）（x+2），
∵x∈（2，+∞），∴（x-2）（x+2）=x²-4＞0，
∴ln（x-2）（x+2）∈R，
∴函数f（x）的值域为R．
（II）函数f（x）在x∈（2，+∞）单调递增．
∵y=ln（x-2），y=ln（x+2）分别在x∈（2，+∞）单调递增．
∴函数f（x）在x∈（2，+∞）单调递增．

点评 本题考查了对数函数的定义域与值域、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．